Ingen förvånar sig över att vägmätarna i två bilar visar olika körsträckor om bilarna kört olika vägar mellan två punkter. Vi inser också i allmänhet att mätaren i bilen som kört den "rakaste" vägen visar den kortaste sträckan.

Om man byter ut vägmätarna mot klockor och byter vägarna i rummet mot banor i rumtiden, visar resenärernas klockor också att olika tid har förflutit beroende på vilken bana man följt. Men i detta fall är det klockan som följt den "rakaste" banan som visar längst tid. Här blir nog de flesta av oss mer förvånade.

Einstein gör denna jämförelse i sin speciella relativitetsteori, en teori som bekräftas dagligen och stundligen världen över. Det är en teori som radikalt förändrat vår syn på tid. Denna nya syn genomsyrar de flesta av den moderna fysikens fundament: som kvantfältteori, allmän relativitetsteori och den senaste syntesen, supersträngteori.

En diskussion av tiden och rumtiden börjar alltså lämpligen med att jag presenterar den speciella relativitetsteorin.

Förutsägelserna för höga hastigheter skiljer sig drastiskt i speciell relativitetsteori från Newtons mekanik. Ändå är Einsteins grundprincip bara en lätt generalisering av det som ligger till grund för den klassiska mekaniken. Konsekvenserna, som till exempel den berömda formeln att massa är ekvivalent med energi, kan dessutom förstås med ett minimum av matematiska formler. Det räcker i stort sett med enkel geometri.

I klassisk mekanik finns det inte något sätt att avgöra om man befinner sig i vila eller likformig, konstant, rörelse i förhållande till ett annat system. Det kan man ganska lätt övertyga sig om. Om vi befinner oss inne i en båt där vi inte har tillgång till annan information än den vi kan få genom att göra mekaniska experiment där inne, kan vi inte veta om båten rör sig med konstant hastighet i förhållande till stranden eller om den ligger stilla. Detta kallas Galileis relativitetsprincip: mekanikens lagar är desamma i system i konstant relativrörelse.

Lägg märke till att specificeringen är viktig. Att ett system är i accelererad rörelse går att avgöra lokalt. Att ett system roterar i förhållande till fixstjärnehimlen kan jag upptäcka genom att betrakta vattenytan i en hink och se att ytan blir buktig. Ickeaccelererade system ska vi kalla inertialsystem. Fixstjärnesfären är exempel på ett sådant.

Albert Einstein generaliserade 1905 Galileis princip på ett till synes oskyldigt sätt. Hans relativitetsprincip säger att fysikens lagar är de samma i system i konstant relativrörelse.

Det som är så radikalt hos Einstein är att nu innefattas också elektromagnetismen. Maxwells lagar om elektromagnetism beskriver hur det elektromagnetiska fältet uppför sig, och de innehåller en universell konstant, ljushastigheten c. På så vis införs fältbegreppet i den förenade beskrivningen av mekanik och elektromagnetism, och framför allt följer att ljushastigheten måste vara densamma i alla inertialsystem. Einstein lade till detta som ett ytterligare postulat, men egentligen följer det logiskt av hans relativitetsprincip.

Att ljushastigheten är densamma i alla inertialsystem har stor betydelse för vårt tidsbegrepp. Det kanske bästa sättet att illustrera detta är analysen av begreppet samtidighet.

Låt oss följa ett klassiskt exempel som Einstein formulerade (bild 1). Anta att vi hänger upp en lampa mitt i en järnvägsvagn som har längden 2l och som rör sig längs ett spår med hastigheten v. Om vi nu blinkar med lampan når förstås ljuset vagnens kortsidor samtidigt.

Hur ser nu detta ut när vi står på banvallen och betraktar skeendet? Ja, i banvallens system rör sig också ljuset med hastigheten c, men vagnens främre kortsida rör sig bort från ljuspulsen medan den bakre rör sig mot ljuspulsen med hastigheten v. Följaktligen når ljuspulserna först fram till den bakre kortsidan – och senare till den främre!

Analysen av samtidighet visar alltså att det inte finns en absolut tid, som Newton antog, som vi kan använda för att avgöra när händelser inträffar. Den visar också något annat viktigt: begrepp som tid och längd måste ges en operationell mening //vad menas med operationell här? Svar: det som står i nästa mening//. Man måste tala om hur man ska mäta en storhet för att den ska vara välbestämd.

Här har vi något centralt i den speciella relativitetsteorin. Alla mätningar hänför sig till ett visst bestämt inertialsystem och kan analyseras operationellt.

En sådan analys av hur tiden förflyter i ett system B som rör sig i förhållande till ett annat system A med konstant hastighet visar att tiden i B går långsammare än tiden i A. En observatör i A ser med andra ord hur klockorna i B går långsammare än hans egna. Detta är den berömda tidsdilatationen, ett mycket viktigt och väldokumenterat fenomen. Den bekräftas dagligen i detektorerna i partikelacceleratorer, vid studier av mymesoner från övre atmosfären m.m. Mest spektakulärt är kanske att atomur som flygs från en plats på jorden till en annan vid framkomsten måste "ruckas" på grund av tidsdilatationen.

Längdkontraktion är ett "komplementärt" fenomen till tidsdilatationen. En mätstav i system B, som befinner sig i rörelse i förhållande till A, är kortare än en mätstav i vila. Att byta system när vi beskriver händelser påverkar med andra ord både tider och längder.

I själva verket leder den speciella relativitetsteorien naturligt till att rumtiden beskrivs som arena för fysikaliska förlopp. Rummet beskrivs inte längre för sig och tiden för sig. Tiden blir i stället jämställd med de tre rumsdimensionerna i en fyrdimensionell mångfald. Tidsdilatation och längdkontraktion följer direkt ur de rotationer, Lorentztransformationerna, som leder från ett koordinatsystem till ett annat i detta så kallade Minkowski-rum. //här kom plötsligt två obekanta begrepp Svar: Ja , men de definieras ju också här//

En lärdom från den speciella relativitetsteorin är alltså att fysiken ska beskrivas i rumtiden där tiden blir fjärde koordinat. En annan är att många viktiga fysikaliska relationer har att göra med geometrin hos denna rumtid. Längst tid visar till exempel den klocka som följer en "rät" linje i rumtiden, nämnde jag tidigare. En sådan linje kallas geodet, och den spelade en stor roll när Einstein 1916 generaliserade den speciella teorin till den allmänna relativitetsteorin för att också kunna beskriva gravitationen.

I den allmänna relativitetsteorin är fysikens lagar formulerade så att de ser likadana ut i alla koordinatsystem i rumtiden, alltså även i system som är accelererade i förhållande till varandra. Rumtidens geometri är ännu mer väsentlig än i de speciella relativitetsteorin, och den avgör hur partiklar rör sig. I själva verket beskrivs gravitationen som en effekt av rumtidens geometri. Att en partikel påverkas av gravitationen översätts till att den rör sig längs en geodet i ett "krökt" rum.

Allmän relativitetsteori förutsäger en mängd spännande fenomen. Bland annat att det existerar svarta hål, kroppar med så stor massa att ingenting, inte ens ljuset kan lämna dem. Eller gravitationell linseffekt, dvs. att ljusstrålar från en avlägsen stjärna böjs av när de passerar i närheten av en tung himlakropp och ger upphov till flera bilder av stjärnan. Eller gravitationsvågor, störningar i rumtiden som utbreder sig från till exempel en gravitationell kollaps.

Vad gäller teorins effekter på tiden har vi det fascinerande resultatet att tiden går långsammare i ett starkare gravitationsfält. Min presentation av atomuret som måste "ruckas" efter en flygtur var i själva verket ofullständig: en del av det man måste kompensera för är denna gravitationella effekt.

Allmän relativitetsteori är en av fysikens mest välbekräftade teorier inom

stora delar av sitt giltighetsområde – överallt där inte kvanteffekter är betydelsefulla. Kvanteffekter uppstår för mycket små avstånd. För de andra fundamentala krafterna, den starka, den svaga och den elektromagnetiska kraften finns elementarpartikelbeskrivningar i kvantregionen. Något liknande finns inte för gravitationen.

Teorierna som beskriver de fundamentala krafterna, förutom gravitationen, kan också beskrivas geometriskt. Liksom den allmänna relativitetsteorin kan de beskrivas med hjälp av strukturer på rumtiden. Närmare bestämt beskriver dessa strukturer hur en "vektor" (som representerar materien) ändrar riktning när den förflyttas runt en sluten kurva. Men rumtiden i sig är speciell relativitetsteoris Minkowski-rum. //det här stycket blir alldeles för abstrakt för mig//

Denna beskrivning av krafterna bygger på matematik som hämtat inspiration från den allmänna relativitetsteorin och dess utveckling.

Framgången för speciell och allmän relativitetsteori har rent generellt lett till att fysiken geometriserats. De synteser som forskare har försökt sig på för att beskriva de fundamentala krafterna som olika aspekter av en enda underliggande "urkraft" har som regel varit av geometrisk karaktär.

Men trots att detta synsätt har visat sig mycket kraftfullt, och trots att dessa försök pågått ända sedan kvantmekaniken och relativitetsteorierna tillkom i början av 1900-talet, har forskarna ännu inte lyckats beskriva gravitationen i kvantregionen med dessa metoder. Låt oss titta lite närmare på svårigheterna.

Den omedelbara svårigheten med att "kvantisera" gravitationen, dvs. att ge en beskrivning som fungerar för små avstånd, kan sammanfattas i ett ord: oändligheter. I de beskrivningar som forskare försöker sig på, som är modellerade efter till exempel den framgångsrika elementarpartikelbeskrivningen av elektromagnetismen, stöter de ofelbart på obestämda uttryck av typen "ett delat med noll". Därför går det inte att få fram några meningsfulla förutsägelser ur en sådan teori.

Att dessa obestämda uttryck uppstår i försöken att kvantisera gravitationen på traditionellt sätt bottnar ytterst i att byggstenarna i en sådan teori är punktformiga: de saknar med andra ord utsträckning. I receptet för hur man räknar ut effekten av kollisioner mellan partiklarna ingår att man ska summera termer av typen 1/(x-y) där x och y är läget för två partiklar. Oändligheterna uppstår när de två befinner sig i samma punkt x=y.

Det finns även en annan aspekt på kvantiseringen av gravitationen. Alla försök i den vägen tyder på att en sådan teori måste omfatta också de andra krafterna. Detta är också naturligt med tanke på att gravitation påverkar alla former av energi, som ju enligt den speciella relativitetsteorin är ekvivalent med massa.

Det ser alltså ut som om en teori för kvantgravitation också måste vara en gemensam teori för alla fyra krafterna. Einsteins dröm om en "förenad fältteori" förverkligad, alltså.

Den som försöker konstruera en sådan förenad teori har god hjälp av en relativt nyupptäckt symmetri som kallas supersymmetri.

Symmetribegreppet har en central roll i fysiken. Begreppet är till stor ledning när man konstruerar modeller för till exempel kraftverkan mellan elementarpartiklar.

Vissa symmetrier är mer eller mindre självklara, till exempel translationsinvarians. Det ska inte spela någon roll var ett experiment utförs, med i övrigt lika yttre omständigheter, och ekvationerna som beskriver experimentet ska spegla detta. Det ska heller inte spela någon roll när experimentet utförs, och ekvationerna avkrävs därför också tidstranslationsinvarians. Att det inte ska spela någon roll hur man vrider experimentuppställningen är också ganska uppenbart, och det kallas rotationsinvarians.

Andra symmetrier är mera esoteriska och kan beskrivas som rotationer i ett "inre" rum.

Supersymmetri är en generalisering av båda typerna av symmetrier. Supersymmetrins stora värde för att på ett ekonomiskt sätt beskriva alla krafter och all materia är att den upprättar ett samband mellan de två typerna av partiklar som vi känner till: kraftpartiklar och materiepartiklar.

Kraftpartiklarna förmedlar krafterna, och kraften kan alltså ses som ett resultat av att det sker ett utbyte av sådana partiklar. Ett exempel är fotonerna, ljuspartiklar, som förmedlar den elektromagnetiska kraften mellan två laddade föremål.

Elektroner, protoner och andra materiepartiklar utgör beståndsdelar i materien.

Med hjälp av supersymmetri kan man se dessa två typer av partiklar som olika sidor hos en och samma superpartikel. Självklart är detta ett stort steg mot en förenad teori. Tyvärr hjälper det oss inte med problemet med oändligheterna, som ju har sin grund i partikelbegreppet självt. Nästa avsnitt handlar om hur detta begrepp kan modifieras.

För nästan trettio år sedan började man studera små endimensionella strängar som alternativ till att beskriva den starka kraften som partiklar (bild 2). Den starka kraften håller samman atomkärnan. Strängarna visade sig fungera alldeles utmärkt för att beskriva nästan alla aspekter av den starka kraften. Men de hade en hake; de beskrev en partikel för mycket, nämligen gravitonen, den hypotetiska kraftpartikel som förmedlar gravitationskraften.

Så småningom ersattes strängbeskrivningen av den starka kraften av en kvantteori av samma geometriska typ som jag nämnde i kapitlet om geometrisering ovan. Men strängteorin levde kvar – och dess nackdel vändes så småningom till en fördel. Gravitonen behövs ju för att beskriva gravitationen, så strängteorin steg fram som en högintressant kandidat till en kvantgravitationsteori.

Genom att införa supersymmetri kom forskarna fram till dagens supersträngteori, den ledande kandidaten till en förenad kvantteori för alla fyra krafterna. Låt oss betrakta supersträngteorin lite närmare.

I strängteorin finns bara en typ av fundamentalt objekt, strängen. Vad som ses som olika typer av elementarpartiklar är olika vibrationstillstånd hos strängen. Tonerna hos en vibrerande fiolsträng är en mycket bra liknelse i sammanhanget (bild Einstein med fiolen). Hos supersträngen beskriver dessa olika toner alla elementarpartiklar, såväl materia som kraftbärare av olika slag. Och detta för alla fyra krafterna. Speciellt finns gravitationen med nödvändighet med.

Ordet "elementarpartikel" när det egentligen rör sig om en sträng är förstås att missbruka språket. Vi använder det här för att beteckna det svängningstillstånd som har alla egenskaper hos elementarpartikeln: massa, laddning och så vidare.

Strängarna är mikroskopiskt små. Deras typiska längdskala är den så kallade Planck-längden 10^-35 meter. Mot denna längd svarar också en tidsskala, Planck-tiden 10^-44 sekunder (faktaruta). Det betyder att i experiment som sker med mindre längd- och tidsupplösning ser strängarna ut som punkter. Där övergår teorin i de traditionella beskrivningarna av de fundamentala krafterna.

Men det mikroskopiska beteendet är radikalt annorlunda. De obehagliga oändligheter som uppstår vid beskrivningen av spridning i partikelteorin när två partiklar intar samma läge lyser helt med sin frånvaro. Man kan säga att strängarna "smetar ut" växelverkan så att alla resultat blir ändliga.

Sammanfattningsvis har alltså de traditionella elementarpartikelteorierna inte rum för gravitationen. Supersträngteorin innehåller med nödvändighet gravitationen och förenar den med de andra tre fundamentala krafterna i en beskrivning som fungerar i kvantregionen, dvs. i mikrokosmos.

Nu har vi alltså en "teori för allt". Vad lär vi oss för nytt av detta?

Ja, för det första att vi har kommit en lång väg från den första sammansmältningen av tid och rum till det fyrdimensionella Minkowski-rummet. För att strängteorin ska vara en helt väldefinierad teori måste den nämligen beskriva strängar som rör sig i tio dimensioner!

Eftersom världen när vi betraktar den med hjälp av dagens experiment ser fyrdimensionell ut måste de extra sex dimensionerna finns gömda på något sätt. Hur? Jo, det finns en gammal idé som bygger på att en cylinder med liten radie ser ut som ett streck. Idén går tillbaka till Theodor Kaluza i Tyskland och Oskar Klein i Sverige. Vi kan översätta till dimensioner: om de sex extra dimensionerna är cirklar med mycket liten radie, Planck-längden igen, ser experiment med sämre upplösning inte dessa dimensioner – precis som ett sugrör ser endimensionellt ut på långt håll.

Här har vi alltså en förutsägelse som skulle kunna verifieras med experiment där upplösningen är tillräckligt stark. Fast om radien verkligen är Planck-längden är det nog bara möjligt i princip.

Ett annat viktigt resultat från strängteori för oss till rakt motsatt ände av energi- eller längdskalan. Vi kommer till det mycket stora, till svarta hål.

Som redan nämnts finns det lösningar till allmän relativitetsteori, som beskriver objekt som är så massiva att inte ens ljus slipper ut ur dem. Inne i dessa svarta hål bryter den allmänna relativitetsteorin ihop, dvs. den förutsäger en singularitet i rumtiden, ett område där vissa fysikaliska objekt får karaktären "ett delat med noll". Precis som detta tidigare var en signal om att partikelbeskrivningen av kvantgravitation inte dög, är det här en signal om att ny fysik måste till för att beskriva det allra innersta av ett svart hål.

Som tur är fungerar emellertid den allmänna relativitetsteorin även när svarta hål finns med i bilden. Det beror på att singulariteten döljs bakom en horisont. Namnet horisont kommer just av att man inte kan se förbi den. Inget kan heller komma ut ur det svarta hålet genom denna horisont; den delar av rumtiden. I vår tredimensionella värld ser den ut som en sfärisk yta med en viss area A. Denna area spelar en mycket viktig roll i fysiken för svarta hål, vilket J. Bekenstein och Stephen Hawking var först med att inse.

Man kan med utgångspunkt från den allmänna relativitetsteorin visa att arean A alltid ökar när något faller in i det svarta hålet, och att om två svarta hål kolliderar är alltid A för det sammanslagna systemet större än eller lika med summan av areorna för de kolliderande objekten. I detta påminner A mycket om entropi i termodynamiken som är ett mått på hur många mikroskopiska tillstånd som bygger upp ett system. Analogin stärks dessutom av att arean A också kan relateras till en temperatur T för det svarta hålet.

Att detta T verkligen beskriver en temperatur, visade Hawking när han studerade hur partiklar sprids mot ett svart hål. Hawking fann nämligen att ett svart hål inte längre är svart när kvantmekanisk spridning tas med i beräkningen. Det sänder ut strålning enligt en känd formel som svarar mot att det svarta hålet har en temperatur. Precis den temperatur som kallades T ovan!

Situationen för svarta hål i den allmänna relativitetsteorin ser sammanfattningsvis ut så här. Inuti ett svart hål finns en singularitet, ett område som det behövs ny fysik för att beskriva. Det svarta hålet har en temperatur och en entropi. Men situationen skiljer sig från den gängse i statistisk fysik och termodynamik på det sättet att man inte förstår vilka mikroskopiska tillstånd de motsvarar.

Går information förlorad när svarta hål bildas, och vad blir kvar när de så småningom försvinner på grund av Hawkingstrålningen. Det är ytterligare en viktig fråga som vi inte kan gå in närmare på.

Alla dessa frågetecken kring svarta hål gör dem till ett fascinerande testområde för hur kvantteorin förhåller sig till den allmänna relativitetsteorin. Det behövs en ny fysik på mikroskopiska avstånd av storleksordning Planck-längden, visar en kritisk analys. Strängteori representerar just en sådan ny fysik, så vad har den att säga om svarta hål? Dags att sammanfatta.

Strängteorin har lösningar som beskriver svarta hål. Till skillnad från tidigare har man full kontroll över den mikroskopiska uppbyggnaden och kan beräkna entropi och temperatur. De överensstämmer helt med resultaten från allmän relativitetsteori. Strängteorin beskriver också sluttillståndet för ett svart hål. Det finns goda skäl att tro att strängteorin också ger den korrekta förklaringen på informationsproblemet.

Vi har gjort en lång resa från insikten att tiden ska betraktas som en koordinat i rumtiden till hur strängteori besvarar frågor om svarta hål. En nyckelinsikt som möjliggjort denna resa kom från Einsteins analys av samtidighet och tid och den geometriska synen på fysiken som följer av hans analys.

Och resan är långt ifrån avslutad. Just i dagarna har vi fått ny förståelse: strängteori är kanske bara ett gränsfall av en mer omfattande teori. Samtidigt har vi lärt oss att strängteori inuti en rumtid med rand, som en kula med mantelyta, kan fullständigt beskrivas av en teori som bara finns på randen!

Det vore naivt att tro att vår förståelse av de fundamentala krafterna stannar här. Strängteorin är säkert inte den slutgiltiga "teorin för allt". Men den har i alla fall visat sig vara en möjlig kvantteori för gravitationen, något som man har letat efter i åttio års tid.

Lars Brink: Supersträngar: Teorin om allting? Forskning & Framsteg, 1987:3, sid. 36.

G. Collins: "Quantum Black Holes are tied to D-branes and strings". Physics Today, mars 1997, sid. 19.

Anders Karlhede och Ulf Lindström: "Supergravitation: Där alla naturkrafterna möts". Forskning & Framsteg, 1985:2, sid. 30.

Ulf Lindström: "Visst kan det finnas tio dimensioner". Forskning & Framsteg, 1987:5, sid. 32.

Relativitetsteori. Uppslagsord i: Nationalencyklopedin. Höganäs: Bra Böcker, 1994.

L. Susskind: "Black Holes and the information paradox". Scientific American, april 1997, sid40.

E. Witten: "Reflections on the fate of spacetime". Physics Today, april 1996, sid. 24.

E. Witten: "Duality, Spacetime and Quantum Mechanics". Physics Today, maj 1997, sid. 28.

Ulf Lindström är professor i teoretisk fysik vid Stockholms Universitet och NorFA nordisk gästprofessor vid Universitetet i Oslo.

Bild 1. Ljushastigheten är densamma inne i tåget som på banvallen utanför. Samtidighet blir alltså ett relativt begrepp, som får olika innebörd beroende på om vi befinner i tågets system eller i banvallens system.

Illustration:

Bild 2. På små avstånd visar sig en "elementarpartikel" vara en svängande sträng.

Illustration:

Bild 3. Som strängarna på fiolen. Självaste Einstein trakterar 1920 det ädla instrumentet.

Foto: Hulton Getty Images–IBL.

Bild 4. På toppen av Mount Everest går klockan snabbare än nere på havsnivå. Skillnaden är…

Foto:

Bild 5. En klocka som är monterad på ett rörligt system går inte med samma hastighet som en stationär klocka.

Foto: Erich Lessing/IBL.

FAKTARUTA

Ljushastigheten c är den högsta signalhastigheten i vakuum. Newtons gravitationskonstant G bestämmer gravitationskraften mellan massiva kroppar. Plancks konstant h bestämmer kvanteffekternas storlek.

Med hjälp av dessa fundamentala naturkonstanter kan man bilda kombinationer av längd, tid, massa och så vidare. Dessa så kallade Planck-storheter är:

Planck-längden: (hG/2p c³)^1/2 = 1,6 10^-35 meter

Planck-tiden: (hG/2p c⁵)^1/2 = 5,4 10^-44 sekunder

Planck-massan: (hc/2p G)^1/2 = 2,2 10^-8 kilo

På avstånd och tider av dessa storleksordningar blir gravitationseffekter och kvanteffekter jämförbara. Man kan inte ignorera någondera.